Variabili aleatorie doppie continue

Proprietà

$f_{X, Y} (x, y) \geq 0$
$\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x d y = 1$

Probabilità congiunta

La distribuzione di probabilità congiunta continua viene usata per esprimere la probabilità che $X$ assuma un valore nell’intervallo $[a, b]$ e, contemporaneamente, $Y$ assuma un valore nell’intervallo $[c, d]$ , ossia

P (X \in [a, b] \cap X \in [a, b]) = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f_{X, Y} (x, y) d x d y

Probabilità marginale

Si ottengono integrando la densità congiunta rispetto all’altra variabile:

f_{X} (x) = \int_{R_{Y}} f_{X, Y} (x, y) d y

f_{Y} (y) = \int_{R_{X}} f_{X, Y} (x, y) d x

Valore atteso

$E (X) == \int_{- \infty}^{+ \infty} x \cdot f_{X} (x) d x$

$E (X Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} x \cdot y \cdot f_{X, Y} (x, y) d x d y$

Varianza

$V a r (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$

Distribuzioni condizionali e indipendenza

Per le v.a. continue vale la stessa cosa:

f_{X | Y} = \frac{f_{X, Y} (x, y)}{f_{Y} (y)}

Due v.a. continue X e Y sono stocasticamente indipendenti se (e solo se)

f_{X, Y} (x, y) = f_{X} (x) \cdot f_{Y} (y)

In caso di indipendenza di variabili continue vale:

f_{X | Y} (x | y) = f_{X} (x)