Funzione di probabilità continua

Una v.a. $X$ definita su $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A})$ è detta continua se la sua funzione di ripartizione è continua.

Proprietà

• $Pr(X\in (a,b])=Pr(a<X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$

• $f(x)>0$ per ogni $x\in \mathbb{R}$

• ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=1$

• $Pr(X=x)=0$

Come si passa da una funzione di densità discreta ad una funzione di distribuzione/ripartizione?

$F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt=\{\begin{array}{ll}0& \text{ for }t<0\\ {\int }_0^{t}f(s)ds& 0\le t<n\\ 1& \text{ for }t\ge n\end{array}$

Valore atteso

$\mathbb{E}(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f_X(x)dx$

Momento non centrato di ordine r

$\mathbb{E}(X^r)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^r\cdot f_X(x)dx$

Varianza

$Var(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$

• Date due costanti a e b e posto $Y=aX+b$ allora
  $Var(Y)=Var(aX+b)=a^2\cdot Var(X)$

Funzioni di probabilità continue da sapere:

• Distribuzione Normale (o di Gauss)