Esercizio (Appello 10 Marzo 2014)

Si dimostri per induzione su $n\in \mathbb{N}$ che $\mathrm{\forall }n\ge 2$ la seguente disuguaglianza:

Soluzione

Procediamo per induzione su $n\ge 2$
$n=2$ (BASE DELL'INDUZIONE)
Dobbiamo provare che

Vale:

• $\sum _{k=1}^{2}6k^2=(6\cdot 1^2)+(6\cdot 2^2)=6+24=30$

• $2(2+1)(2\cdot 2+1)=2\cdot 3\cdot 5=30$

La base dell'induzione è verificata in quanto

$n\ge 2,n⟹n+1$ (PASSO INDUTTIVO)
Assumiamo che l'uguaglianza sia vera per un certo $n\ge 2$, cioè che valga

Dobbiamo provare che vale la stessa uguaglianza con $n+1$ al posto di $n$, ovvero

Vale:

Dunque il passo induttivo è verificato.
Grazie al passo induttivo $P(n)$ è vera $\mathrm{\forall }n\ge 2$