Funzione come legge

Siano $X$ e $Y$ due insiemi non vuoti.
Una funzione $f_{l e g g e} : X \to Y$ (come legge, visto come concetto primitivo),
è una legge che ad ogni $x \in X$ associa un unico $y \in Y$
Ad ogni input si può associare un solo output

Equivalenza tra funzione come relazione e funzione come legge

(Nel caso in cui $X \neq \emptyset$ , $Y \neq \emptyset$ )

Definizione

Dati $X$ e $Y$ , due insiemi (eventualmente vuoti), definiamo l'insieme $Y^{X}$ come l'insieme i cui elementi sono tutte e sole le funzioni del tipo $f : X \to Y$ .
$f \subset X$ x $Y$ $\Leftrightarrow f \in 2^{X x Y}$

Osservazione

insieme delle parti

Dato un insieme A, indichiamo con $2^{A}$ o P(A) l'insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di A, detto INSIEME DELLE PARTI DI A.

Esempio

$A = {1, 2, 3}$
$2^{A} = {\emptyset, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}$

Osservazione

$Y^{X} = {f \in 2^{X x Y} | (\forall x \in X, \exists! y t . c . (x, y) \in f)}$
$↪ I N S I E M E$
ASSIOMA DI SEPARAZIONE $⟹$ $Y^{X}$ è un insieme

Esercizio

Dato un insieme $X$ (qualsiasi), calcolare $X^{\emptyset}$ e $\emptyset^{X}$ .
Suggerimento: qui le funzioni sono relazioni.
$X^{\emptyset} = {f \in 2^{\emptyset \times X} = 2^{\emptyset} = {\emptyset} | \forall \in \emptyset, \exists I g \in X$ t.c. $(x, y) \in f} = {\emptyset}$
$\emptyset^{X} =$

Soluzione

Sia X un insieme $\neq \emptyset$ , vale:

\emptyset^{X} = {f \in 2^{X \times \emptyset} = 2^{\emptyset} = {\emptyset} | \forall x \in X, \exists! y \in \emptyset t . c . (x, y) \in f \in \emptyset} = \emptyset

Esercizio

Siano $X, Y, Z$ tre insiemi e siano $f : X \to Y$ e $g : Y \to Z$ due funzioni. Dimostrare che:

$f, g$ iniettiva $⟹$ $g o f$ iniettiva
$f, g$ surgettiva $⟹$ $g o f$ surgettiva
$f, g$ bigettiva $⟹$ $g o f$ bigettiva
$f$ bigettiva $⟹$ $f^{- 1}$ bigettiva

Soluzione

Siano $x_{1}, x_{2} \in X$ t.c. $x_{1} \neq x_{2}$
Vale: $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ in quanto $f$ è iniettiva.
$g (f (x_{1})) \neq g (f (x_{2}))$ in quanto $g$ è iniettiva.
$(g o f) (x_{1}) \neq (g o f) (x_{2})$
Supponiamo che $f$ e $g$ siano surgettive.
Sia $z \in Z$ . Perchè $g$ è surgettiva,
$\exists y \in Y$ t.c. $g (y) = z$ . Anche $f$ è surgettiva, dunque $\exists x \in X$ t.c. $f (x) = y$ . Vale:$$(g \ o \ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z$$
1. - 1. bigettività preservata

Esercizio 1.11 e 1.12

Ci son 2 errori. Quali?

Da qui in poi $f_{l e g g e} = f$

Esempio 1.12

Sia $X$ un insieme non vuoto, indichiamo con $i d_{x} : X \to X$ tale che $i d_{x} (x) = x$ , $\forall x \in X$

Definizione

composizione

Siano $X$ , $Y$ e $Z$ tre insiemi non vuoti e $f : X \to Y$ e $g : Y \to Z$ due funzioni.
Definiamo la composizione $g o f : X \to Z$ , detto composizione di f e g, come segue:

$(g o f) (x) := g (f (x)) \forall x \in X$

Definizione

immagine

Siano $X$ e $Y$ due insiemi non vuoti, e sia $f : X \to Y$ una funzione. Dato $A \subset X$ definiamo l'immagine di A tramite $f$ come segue:

$f (A) := {y \in Y | \exists x \in A, t . c . y = f (x)}$
$f (x)$ si dice IMMAGINE di $f$ .

Definizione

controimmagine

Dato $B \subset Y$ , definiamo la controimmagine di B tramite $f$ , ponendo

$f^{- 1} (B) := {x \in X | f (x) \in B}$
Se $B = {y}$ , allora

$f^{- 1} (Y) = f^{- 1} ({Y}) := {x \in X | f (x) = y}$
$↪$ fibra di $f$ sopra $y$ $↪$ incognita

Dato $f : X \to Y$ , si dice che:

f è INIETTIVA se $\forall x_{1}, x_{2}, \in X$ t.c. $x_{1} \neq x_{2}$ , $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$
f è SURGETTIVA se $f (x) = y$ ovvero $\forall y \in Y, \exists x \in X$ t.c. $f (x) = y$ .
f è BIGETTIVA se è iniettiva e surgettiva.

Esercizio

$R$ = "insieme dei numeri reali"
$R^{+} = {t \in R | t \geq 0}$

$f_{1} : R, f_{1} (x)$

Proposizione 1.21

funzione inversa

Sia $f : X \to Y$ una funzione bigettiva tra insiemi non vuoti. Allora è esiste ed è unica una funzione $g : Y \to X$
$g o f = i d_{x}$ e $f o g = i d_{y}$

In questo caso g si dice INVERSA di $f$ e si indica con $f^{- 1}$