Buon ordinamento dei numeri naturali

Teorema

$(\mathbb{N},\le )$ è ben ordinato.

Dimostrazione

Supponiamo esista $A\subset \mathbb{N}$ dove $\nexists minA$. Sia $B:=\mathbb{N}\mathrm{\setminus }A$.
Dimostriamo che $B=\mathbb{N}$ e $A=\varnothing$.

Procediamo per induzione di prima forma. Sia $\{0,1,...,n\}\subset B\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, ovvero $P(n)=(\{0,1,...,n\}\subset B)$ è vera $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$.

$n=0$ (BASE DELL'INDUZIONE)
Vale che $\{0\}\subset B\iff 0\in B\iff 0\notin A$.
Infatti se supponessimo per assurdo che $0\in A$, allora avremmo che $0=minA$.
Quindi $0\notin A⟹\{0\}\subset B$.

$n\ge 1,n⟹n+1$ (PASSO INDUTTIVO)
Assumiamo che $\{0,1,...,n\}\subset B$ per qualche $n$. Proviamo che $\{0,1,...,n,n+1\}\subset B$.
$n+1\in A$? No, altrimenti avremmo che $n+1=minA$, che è impossibile per ipotesi.
Allora $n+1\in B⟹B=\mathbb{N},A=\varnothing$
Il passo induttivo è stato fatto. Dunque, grazie al principio di induzione di prima forma, tutte le $P(n)$ sono vere, ovvero $B=\mathbb{N}$