Esercizio (Appello 27 Agosto 2017)

Si dimostri per induzione su $n \in N$ che $\forall n \geq 2$ la seguente disuguaglianza:

\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k (k + 1)} = \frac{n - 1}{2 n + 2} \forall n \geq 2

Soluzione

Procediamo per induzione su $n \geq 2$
$n = 2$ (BASE DELL'INDUZIONE)
Dobbiamo provare che

\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k (k + 1)} = \frac{2 - 1}{2 \cdot 2 + 2}

Vale:

La base dell'induzione è verificata in quanto

\sum_{k = 2}^{2} \frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{6} = \frac{n - 1}{2 n + 2}

$n \geq 2, n ⟹ n + 1$ (PASSO INDUTTIVO)
Assumiamo che l'uguaglianza sia vera per un certo $n \geq 2$ , cioè che valga

\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k (k + 1)} = \frac{n - 1}{2 n + 2} per qualche n \geq 2 (IPOTESI INDUTTIVA)

Dobbiamo provare che vale la stessa uguaglianza con $n + 1$ al posto di $n$ , ovvero

\sum_{k = 2}^{n + 1} \frac{1}{k (k + 1)} = \frac{(n + 1) - 1}{2 (n + 1) + 2} (TESI DEL PASSO INDUTTIVO)

Vale:

\sum_{k = 2}^{n + 1} \frac{1}{k (k + 1)} = \frac{(n + 1) - 1}{2 (n + 1) + 2} ⟺

\underset{―}{\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k (k + 1)}} + \frac{1}{(n + 1) ((n + 1) + 1)} = \frac{n}{2 n + 4}

⇕ (ipotesi induttiva)

\underset{―}{\frac{n - 1}{2 n + 2}} + \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{n}{2 n + 4}

\frac{(n + 2) (n - 1) + 2}{2 (n + 1) (n + 2)} = \frac{n}{2 n + 4}

\frac{n^{2} - n + 2 n - 2 + 2}{2 (n + 1) (n + 2)} = \frac{n}{2 (n + 2)}

⇕ Moltiplico a destra e a sinistra per (n + 1)

n^{2} - n + 2 n - 2 + 2 = n (n + 1)

n^{2} + n = n^{2} + n $ $ D u n q u e i l p a s s o i n d u t t i v o è v e r i f i c a t o . G r a z i e a l p a s s o i n d u t t i v o $ P (n) $ è v e r a $ \forall n \geq 2 $