Variabili aleatorie doppie

Con riferimento ad uno spazio campionario $Ω$ , una variabile aleatoria doppia $(X, Y)$ è una coppia di funzioni $X (ω)$ e $Y (ω)$ a valori reali che associa ad ogni evento elementare $ω \in Ω$ una coppia di numeri reali $(x, y)$ .

Si dividono in

Variabili aleatorie doppie discrete
Variabili aleatorie doppie continue

Distribuzioni condizionali e indipendenza

V.a. discrete

Due v.a. discrete X e Y sono stocasticamente indipendenti se (e solo se)

p_{X, Y} (x, y) = p_{X} (x) \cdot p_{Y} (y)

questo implica che

p_{X, Y} (x, y) = p_{X | Y} (X = x | Y = y) \cdot p_{Y} (y) = p_{Y | X} (Y = y | X = x) \cdot p_{X} (x)

V.a. continue

Due v.a. continue X e Y sono stocasticamente indipendenti se (e solo se)

f_{X, Y} (x, y) = f_{X} (x) \cdot f_{Y} (y)

In caso di indipendenza di variabili continue vale:

f_{X | Y} (x | y) = f_{X} (x)

Inoltre

f_{X | Y} = \frac{f_{X, Y} (x, y)}{f_{Y} (y)}

Valore atteso

$E (X | Y = y) = \sum_{x} x \cdot p_{X | Y} (x | y)$

$V a r (X | Y = y) = \sum_{x} (x - E (X | Y = y))^{2} \cdot p_{X | Y} (x | y)$

Covarianza

$C o v (X, Y) = E (X \cdot Y) - E (X) \cdot E (Y)$

Indice di Pearson

$ρ (X, Y) = \frac{C o v (X, Y)}{\sqrt{V a r (X) \cdot V a r (Y)}}$