Formulario di Probabilità e Statistica

$⋆$ Requisiti algebra

$Ω$ e $\emptyset \in A$
$\forall A \in A$ anche $A^{c} \in A$
l'unione finita di elementi di $A$ continua a stare in $A$ .

$⋆$ Teorema di Bayes

$P (A_{i} | H) = \frac{P (A_{i}) P (H | A_{i})}{P (H)} = \frac{P (A_{i}) P (H | A_{i})}{\sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) P (H | A_{i})}$

$⋆$ Proprietà di una funzione di ripartizione

$F_{X} (x) = P (X \leq x)$
Non decrescente
$0 \leq F_{X} (x) \leq 1$
$l i m_{x \to + \infty} F_{X} (x_{0}) = 1$
$l i m_{x \to - \infty} F_{X} (x_{0}) = 0$

Nel caso di una variabile casuale discreta si aggiungono le proprietà:

continua da destra $\forall x \in R$ , quindi $l i m_{x \to x_{0 +}} F_{X} (x) = F_{X} (x_{0})$
$l i m_{x \to x_{0 -}} F_{X} (x) \neq F_{X} (x_{0})$

Inoltre:
$Pr ((a, b]) = F (b^{+}) - F (a^{+})$
$Pr ([a, b)) = F (b^{-}) - F (a^{-})$
$Pr ((a, b)) = F (b^{-}) - F (a^{+})$
$Pr ([a, b]) = F (b^{+}) - F (a^{-})$
$Pr (X = x) = Pr ((x, x]) = l i m_{x \to x_{0 +}} F_{X} (x) - l i m_{x \to x_{0 -}} F_{X} (x)$

$⋆$ Valore atteso (momento non centrato)
$E (X) = \sum_{x = 0}^{n} x \cdot p_{X} (x) = \int_{R_{X}} x \cdot f_{X} (x) d x$
$E (X Y) = \sum_{x} \sum_{y} x \cdot y \cdot p_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} x \cdot y \cdot f_{X, Y} (x, y) d x d y$

$E (X | Y = y) = \sum_{x} x \cdot p_{X | Y} (x | y) = E (X | Y = y) = \int_{R_{X}} x \cdot f_{X | Y} (x | y) d x = \int_{R_{X}} x \cdot \frac{f_{X, Y} (x, y)}{f_{Y} (y)} d x$

$⋆$ Momento di ordine r
$E (X^{r}) = \sum_{x} x^{r} \cdot p_{X} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} x^{r} \cdot f_{X} (x) d x$

$⋆$ Varianza
$V a r (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$
$V a r (X | Y = y) = \sum_{x} (x - E (X | Y = y))^{2} \cdot p_{X | Y} (x | y) = E (X^{2} | Y = y) - {(E (X | Y = y))}^{2}$
$V a r (a X + b Y + c) = a^{2} Var (X) + b^{2} Var (Y) + 2 a b Cov (X, Y)$

$⋆$ Covarianza
$C o v (X, Y) = E (X \cdot Y) - E (X) \cdot E (Y)$

$⋆$ Indice di Pearson
$ρ (X, Y) = \frac{C o v (X, Y)}{\sqrt{V a r (X) \cdot V a r (Y)}}$

$⋆$ Funzione di probabilità discreta
$p (x) \geq 0$ per ogni $x$ reale e $\sum_{x \in R_{X}} p (x) = 1$

$⋆$ Funzione di probabilità continua

$P r (X \in (a, b]) = P r (a < X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x$
$f (x) > 0$ per ogni $x \in R$
$\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1$
$P r (X = x) = 0$
$F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t = {\begin{cases} 0 & for t < 0 \\ \int_{0}^{t} f (s) d s & 0 \leq t < n \\ 1 & for t \geq n \end{cases}$

$⋆$ Variabili aleatorie doppie continue

$f_{X, Y} (x, y) \geq 0$
$\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x d y = 1$
$P (X \in [a, b] \cap X \in [a, b]) = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f_{X, Y} (x, y) d x d y$
$f_{X} (x) = \int_{R_{Y}} f_{X, Y} (x, y) d y$
$f_{Y} (y) = \int_{R_{X}} f_{X, Y} (x, y) d x$

$⋆$ Variabili aleatorie doppie discrete

$f_{X, Y} (x, y) \geq 0$
$\sum_{x} \sum_{y} f_{X, Y} (x, y) = 1$
$f_{X, Y} (x, y) = P (X = x \cap Y = y)$
$f_{X} (x) = P (X = x) = \sum_{y} f_{X, Y} (x, y)$
$f_{Y} (y) = P (Y = y) = \sum_{x} f_{X, Y} (x, y)$

$⋆ ⋆$ Distribuzioni condizionali e indipendenza
$⋆$ Variabili discrete
Due v.a. discrete X e Y sono stocasticamente indipendenti se (e solo se)

p_{X, Y} (x, y) = p_{X} (x) \cdot p_{Y} (y)

questo implica che

p_{X, Y} (x, y) = p_{X | Y} (X = x | Y = y) \cdot p_{Y} (y) = p_{Y | X} (Y = y | X = x) \cdot p_{X} (x)

$⋆$ Variabili continue
Due v.a. continue X e Y sono stocasticamente indipendenti se (e solo se)

f_{X, Y} (x, y) = f_{X} (x) \cdot f_{Y} (y)

In caso di indipendenza di variabili continue vale:

f_{X | Y} (x | y) = f_{X} (x)

Inoltre

f_{X | Y} = \frac{f_{X, Y} (x, y)}{f_{Y} (y)}

$⋆$ Teorema Limite Centrale

$\frac{X \pm 0.5 - E [X]}{\sqrt{(V a r (x))}}$ $+$ con $P (X \leq k), -$ con $P (X \geq k)$

$⋆$ Disuguaglianza di Markov

$P r (Y \geq a) \leq \frac{E (Y)}{a}$

$⋆$ Disuguaglianza di Chebychev

$P r (| Y - μ | \geq ϵ) \leq \frac{σ^{2}}{ϵ^{2}}$

$⋆$ Binomiale

P r (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} k = 0, 1, . . ., n

E (X) = n \cdot p V a r (X) = n \cdot p (1 - p)

In R:

dbinom(k, n, p) #P(X=x)
pbinom(k, n, p) #P(X≤x)
pbinom(k, n, p, FALSE) #P(X>x)

$⋆$ Poisson

P r (X = x) = \frac{λ^{x}}{x!} e^{- λ} x = 0, 1, . . . E (X) = V a r (X) = λ

In R:

dpois(x, lambda) #P(X=x)
ppois(x, lambda) #P(X≤x)
ppois(x, lambda, FALSE) #P(X>x)

Se $Y_{1}$ e $Y_{2}$ sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Poisson di parametri $λ_{1}$ e $λ_{2}$ rispettivamente, allora

la loro somma $Y = Y_{1} + Y_{2}$ segue ancora una distribuzione di Poisson, di parametro $λ = λ_{1} + λ_{2}$ ;
la distribuzione di $Y_{1}$ condizionata da $Y = n$ è la distribuzione binomiale di parametri $n$ e $\frac{λ_{1}}{λ}$ .

$⋆$ Geometrica

P r (X = x) = p (1 - p)^{k - 1} x = 1, 2, . . . E (X) = \frac{1}{p} V a r (X) = \frac{1 - p}{p^{2}}

In R:

dgeom(x, prob) #P(X=x)
pgeom(x, prob) #P(X≤x)
pgeom(x, prob, FALSE) #P(X>x)

$⋆$ Normale

N (µ, σ^{2}) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp {- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}

E (X) = µ V a r (X) = σ^{2}

In R:

dnorm(x, mean = 0, sd = 1) #f(X=x), mean = µ, sd = σ
pnorm(x, mean = 0, sd = 1) #integral from 0 to x
qnorm(p, mean = 0, sd = 1) #integral from 0 to k = p

$⋆$ Esponenziale

E x p (λ) = λ e^{- λ x} x > 0

F (x) = 1 - e^{- λ x} x \geq 0

E (X) = \frac{1}{λ} V a r (X) = \frac{1}{λ^{2}}

In R:

dexp(x, lambda) #f(X=x), mean = µ, sd = σ
pexp(x, lambda) #integral from 0 to x
qexp(p, lambda) #integral from 0 to k = p

$⋆$ Integrali in R

integrand <- function(x) { exp(-x) }
integrate(integrand, 0, +Inf)$value