Disuguaglianza di Markov

Sia $Y$ una v.c. che assume valori non negativi, allora per ogni numero reale $a > 0$

P r (Y \geq a) \leq \frac{E (Y)}{a}

Disuguaglianza di Chebychev

Sia $Y$ una v.c. con valore atteso $E (Y) = μ$ e varianza $V a r (Y) = σ^{2}$ .
Allora

P r (| Y - μ | \geq ϵ) \leq \frac{σ^{2}}{ϵ^{2}}

L’importanza delle due disuguaglianze di Markov e Chebychev è che ci danno dei limiti superiori per delle probabilità senza alcun riferimento alla distribuzione di probabilità della v.a. $Y$ .
Basta conoscerne il valore atteso o il valore atteso e la varianza.
Ad esempio, si supponga che il numero di clienti in un giorno ad uno sportello sia una v.a. $Y$ con $E (Y) = 130$ . Cosa possiamo dire della probabilità che possano arrivare più di $250$ clienti? Grazie alla disuguaglianza di Markov possiamo dire che $P r (Y \geq 250) \leq \frac{130}{250} = 0.52$ . Ovviamente questi limiti possono essere molto grossolani. Se $Y \sim N (0, 1)$ sappiamo che $P r (| Y | \geq 1.96) = 0.05$ , mentre la disuguaglianza di Chebychev afferma che $P r (| Y | \geq 1.96) \leq \frac{1}{{1.96}^{2}} \approx 0.260$ .