23 Jan 2023, 12:49 AM

Variabili aleatorie doppie discrete

Proprietà

$f_{X, Y} (x, y) \geq 0$
$\sum_{x} \sum_{y} f_{X, Y} (x, y) = 1$

Probabilità congiunta

La distribuzione di probabilità congiunta discreta esprime la probabilità che $X$ assuma il valore $x$ e, contemporaneamente, $Y$ assuma il valore $y$ , ossia

f_{X, Y} (x, y) = P (X = x \cap Y = y)

Esempio

Data la seguente $f_{X, Y} (x, y)$

$_{X} ∖^{Y}$	0	1
0	0.09	0.66	0.75
1	0.01	0.24	0.25
	0.1	0.9	1

quanto vale la probabilità congiunta $f_{X, Y} (0, 1)$ ?

f_{X, Y} (0, 1) = P (X = 0 \cap Y = 1) = 0.66

Probabilità marginale

Le distribuzioni di probabilità marginali discrete rappresentano le probabilità di una delle due variabili, ignorando l’altra.
Si ottengono quindi sommando le probabilità congiunte rispetto all’altra variabile:

f_{X} (x) = P (X = x) = \sum_{y} f_{X, Y} (x, y)

f_{Y} (y) = P (Y = y) = \sum_{x} f_{X, Y} (x, y)

Esempio

Data la seguente $f_{X, Y} (x, y)$

$_{X} ∖^{Y}$	0	1
0	0.09	0.66	0.75
1	0.01	0.24	0.25
	0.1	0.9	1

quanto vale la probabilità marginale $f_{Y} (0)$ , cioè $P (Y = 0)$ ?

f_{Y} (0) = P (Y = 0) = \sum_{x} f_{X, Y} (x, y) = f_{X, Y} (0, 0) + f_{X, Y} (1, 0) = 0.09 + 0.01 = 0.10

Valore atteso

$E (X) = \sum_{x} x \cdot p_{X} (x)$
$E (X Y) = \sum_{x} \sum_{y} x \cdot y \cdot p_{X, Y} (x, y)$

Varianza

$V a r (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = \sum_{x} x^{2} \cdot p_{X} (x) + {(\sum_{x} x \cdot p_{X} (x))}^{2}$

Distribuzioni condizionali e indipendenza

Due v.a. discrete X e Y sono stocasticamente indipendenti se (e solo se)

p_{X, Y} (x, y) = p_{X} (x) \cdot p_{Y} (y)

questo implica che

p_{X, Y} (x, y) = p_{X | Y} (X = x | Y = y) \cdot p_{Y} (y) = p_{Y | X} (Y = y | X = x) \cdot p_{X} (x)