Funzione di ripartizione e sue proprietà

Data una variabile casuale $X$, la funzione che fa corrispondere ai valori di $x$, le probabilità cumulate $P(X\le x)$ viene detta funzione di ripartizione è indicata con $F_X$

Requisiti di una funzione di ripartizione:

• Non decrescente
• $0\le F_X(x)\le 1$
• $li{m}_{x\to +\mathrm{\infty }}{F}_X(x_0)=1$
• $li{m}_{x\to -\mathrm{\infty }}{F}_X(x_0)=0$

Nel caso di una variabile casuale discreta si aggiungono le proprietà:

• continua da destra $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$, quindi $li{m}_{x\to x_{0+}}{F}_X(x)=F_X(x_0)$

• $li{m}_{x\to x_{0-}}{F}_X(x)\ne F_X(x_0)$ (la funzione di ripartizione presenta dei punti di discontinuità di 1° specie (o salti))

Inoltre:
$\text{Pr}((a,b])=F(b^{+})-F(a^{+})$
$\text{Pr}([a,b))=F(b^{-})-F(a^{-})$
$\text{Pr}((a,b))=F(b^{-})-F(a^{+})$
$\text{Pr}([a,b])=F(b^{+})-F(a^{-})$
$\text{Pr}(X=x)=\text{Pr}((x,x])=li{m}_{x\to x_{0+}}{F}_X(x)-li{m}_{x\to x_{0-}}{F}_X(x)$

Esempio

Data la seguente funzione di ripartizione:

$\{\begin{array}{ll}1-\text{exp}(-\frac{x^2}{2{\sigma }^2})& \text{ se }x\ge 0\\ \\ 0& \text{ altrimenti}\end{array}$

$\star$ Qual è la probabilità dell'intervallo $[-1.12,1.12)$?
$\text{Pr}((-1.12,1.12])=F({1.12}^{-})-F(-{1.12}^{-})=0.3398201-0=0.3398201$

$\star$ Qual è la probabilità dell'intervallo $(0.215,0.712]$?
$\text{Pr}((0.215,0.712])=F({0.712}^{+})-F({0.215}^{+})=0.1393029289592$

$\star$ Qual è infine la probabilità di $(0.215,1.58]\cap (0.712,1.727]\cup (1.822,2.274]$?
L'intervallo è quindi $(0.712,1.58]\cup (1.822,2.274]$, di conseguenza la probabilità è:
$\text{Pr}((0.712,1.58]\cup (1.822,2.274])=F({1.58}^{+})-F({0.712}^{+})+F({2.274}^{+})-F({1.822}^{+})=0.5605703$

Fonte utile:
Spiegazione funzione di ripartizione