Funzione di probabilità discreta

Se X è una v.a. discreta con $R_X=\{x_1,x_2,...\}$ allora $p(x)\ge 0$ per ogni $x$ reale e $\sum _{x\in R_X}p(x)=1$

Come si passa da una funzione di distribuzione/ripartizione discreta ad una funzione di densità discreta (o viceversa)?

Esempio

Sia X una variabile aleatoria discreta con la seguente funzione di distribuzione (o ripartizione)

$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<-0.425,\\ \\ 0.0531& -0.425\le x<0.474,\\ \\ 0.2541& 0.474\le x<1.372,\\ \\ 0.5713& 1.372\le x<2.271,\\ \\ 0.8383& 2.271\le x<3.17,\\ \\ 0.9647& 3.17\le x<4.069,\\ \\ 0.9966& 4.069\le x<4.967,\\ \\ 1& 4.967\le x.\end{array}$

Qual è la funzione di densità discreta $p_X$ della nostra v.a. $X$?
Ricordiamo che la funzione di ripartizione/distribuzione di una v.a. discreta è costante a tratti con salti negli $x\in R_X$ e che tali salti hanno ampiezza $P(X=x)$. Quindi

Allora si ha:

$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}0.0531& \text{per }x=-0.425,\\ 0.201& \text{per }x=0.474,\\ 0.3172& \text{per }x=1.372,\\ 0.267& \text{per }x=2.271,\\ 0.1264& \text{per }x=3.17,\\ 0.0319& \text{per }x=4.069,\\ 0.0034& \text{per }x=4.967\end{array}$

Infatti:

Esempio

Sia dato lo spazio probabilizzato $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ dove, $\mathrm{\Omega }=\mathbb{R},\mathcal{A}=\mathbb{B}(\mathbb{R})$ e P e definita (non nulla) nei seguenti singoletti di $\mathbb{R}$

La probabilità data è discreta e abbiamo che $P(\{x\})=p(x)$ è la funzione di densità (discreta) di una variabile aleatoria $X$.

La sua funzione di distribuzione/ripartizione: è la seguente:

$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<1,\\ \\ 0.09& 1\le x<3,\\ \\ 0.11& 3\le x<5,\\ \\ 0.28& 5\le x<7,\\ \\ 0.39& 7\le x<8,\\ \\ 0.51& 8\le x<9,\\ \\ 0.62& 9\le x<11,\\ \\ 0.81& 11\le x<13,\\ \\ 1& 13\le x.\end{array}$

Valore atteso

$\mathbb{E}(X)=\sum _{x=0}^{n}x\cdot p_X(x)$

Varianza

$Var(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$