Approssimare la binomiale con la normale

All’aumentare del numero $n$ di prove, la distribuzione di una variabile casuale binomiale di parametri $n$ e $p$ si “avvicina” sempre di più a quella di una normale con parametri $\mu =np$ e ${\sigma }^2=np(1-p)$.

L’approssimazione è valida quando $n$ è abbastanza grande e $p$ e $1-p$ non sono vicini a zero.
Regola pratica:

1. si calcola l’intervallo di estremi $np\pm 3\sqrt{np(1-p)}$
2. se esso è contenuto nell’intervallo $[0,n]$ allora l’approssimazione può ritenersi valida.

Per calcolare il valore standardizzato corrispondente si utilizza la seguente formula:

E successivamente si calcola la funzione di ripartizione della distribuzione normale in quel punto, con $\mu =0$ e $\sigma =1$ (chiamata anche Normale Standard).

Esempio

Vogliamo calcolare $Pr(B\le 25)$ dove $B\sim B(30,0.7)$. L’intervallo $[13.47,28.53]$ è contenuto nell’intervallo $[0,30]$ quindi procediamo con l’approssimazione. Calcoliamo il valore standardizzato corretto corrispondente a 25:

A questo punto:

In R è calcolabile nel seguente modo

pnorm(1.79, 0, 1)

$Pr(B\le 25)$ invece risulta $0.9699$, quindi è una buona approssimazione.
Si osservi che nel calcolo di $z_0$ abbiamo aggiunto $0.5$ al valore dato $25$. Si tratta della cosiddetta correzione per continuità che migliora l’approssimazione di una v.a. discreta con una continua.

Correzione per continuità