Insiemi equipotenti e cardinalità

Definizione

Proposizione 2.2

Siano $X,Y,Z$ tre insiemi, valgono le seguenti proprietà:
• $X$ è equipotente a sè stesso: $X\sim X$.
• Se $X$ è equipotente a $Y$ allora $Y$ è equipotente a $X$: $X\sim Y\Rightarrow Y\sim X$.
• Se $X$ è equipotente a $Y$ e $Y$ è equipotente a $Z$, allora $X$ è equipotente a $Z$: $(X\sim Y)\wedge Y\sim Z)\Rightarrow X\sim Z$.

Idea di insieme cardinale

Questa costruzione associa ad ogni insieme di $X$ un insieme $|X|$, detto insieme cardinale di $X$, in modo che:

• $X\sim |X|$
• due insiemi cardinali distinti non sono equipotenti.

Teorema 2.4

Siano $X$ e $Y$ due insiemi, allora $X\sim Y\iff |X|=|Y|$ ($\underset{―}{averestessacardinalità}$).